Entrevista a Irma Fuenlabrada
Publicada en la Edición Nº 99

 

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Conocimiento matemático: de lo concreto a lo funcional

. ¿Qué concepciones subyacen en las propuestas tradicionales de enseñanza?
. ¿Qué estrategias es posible diseñar para modificar la forma de enseñar?
. ¿Cómo enseñar para que los niños aprendan?

¿Cómo entiende usted la diferencia entre enseñar y aprender matemática?
- En principio, dentro de la didáctica, separo procesos de aprendizaje de procesos de enseñanza. A fines de los años ´70, hubo una fuerte tendencia a pensar en términos de procesos de enseñanza-aprendizaje, como si estos dos términos constituyeran uno solo. Pero no es lo mismo lo que enseña el maestro que lo que el niño aprende, aunque la tendencia debería ser que aquello que el maestro enseña, sea lo que el niño aprenda.
En el inicio de nuestras investigaciones en didáctica de la matemática, separamos estos términos porque consideramos que era importante analizar los mecanismos a través de los cuales los niños aprendían esta disciplina.
Desde nuestra perspectiva, el problema no estaba centrado en el aprendizaje sino que estaba en la enseñanza. Por ello, nos planteamos modificar nuestra estrategia de enseñanza, pero observando muy directamente cómo se producía el aprendizaje en los niños.

¿Cómo implementaron el proyecto de investigación centrado en la enseñanza?
- Nos comprometimos a realizar un seguimiento de los niños de dos escuelas desde que estaban en primer grado hasta séptimo, incluyendo el trabajo con el maestro que estuviera dispuesto a seguir la experiencia. Por otra parte, aceptamos seguir el programa oficial, para no hacer demasiados problemas con las familias y con el sistema educativo. Nuestra intención fue intervenir muy fuertemente en la manera de enseñar. Teníamos mucho control sobre ciertos aspectos, diseñábamos la secuencia, hablábamos y analizábamos con el maestro antes y después de la clase lo que había sucedido y, por otro lado, dejábamos libre la reacción de los niños frente a la secuencia.
Desde una perspectiva constructivista, también siempre estuvimos interesados en ver cómo evolucionaban las ideas en los niños. Entonces, cuando íbamos tanteando estas problemáticas, analizábamos muy directamente si la estrategia que utilizaban los niños cambiaba o no frente a una nueva problemática y si ese cambio se orientaba hacia las estrategias convencionales.

Uno de los libros de su autoría propone como base de los juegos de matemática el desafío, el reto. ¿Qué rol cumple el desafío dentro del enfoque constructivista de didáctica?
- El desafío se contrapone a una práctica de la escuela tradicional que es la motivación. La motivación se entendía -y se sigue entendiendo- como el espacio que permite capturar la atención de los niños e interesarlos en lo que viene después. Para nosotros, la manera de comprometer a los niños con el conocimiento es desafiarlos intelectualmente. Si comienzas desafiando al niño, eso hace que se comprometa en la búsqueda de solución. En algunos de los materiales que produjimos, intentamos que el niño, en esa búsqueda, generara una estrategia que tuviera que ser socializada, primero en un grupo de trabajo.
Luego, en el grupo de la clase, cada equipo tenía que mostrarle a sus compañeros qué había hecho para resolver el problema.

¿Qué sucede en el salón de clases cuando se plantea este tipo de propuestas?
- Por lo menos, surgen dos o tres estrategias distintas y comienza un diálogo entre los chicos. En principio, conocen que existen otras maneras de resolver los problemas, lo cual es una parte muy importante del aprendizaje de la matemática. Porque esta disciplina no es rígida, sino sujeta a experimentación y a cuestionamiento y esto ha quedado fuera de la enseñanza y consecuentemente del aprendizaje.
El conocimiento matemático ha surgido de resolver problemáticas particulares y, luego, esas maneras particulares de resolver los problemas han seguido un proceso que los ha llevado al instrumental matemático que conocemos actualmente.
La idea es que en el salón de clases se propicie una evolución de estrategias personales de los niños hacia las estrategias convencionales.
Cambios en el enfoque

¿Cuáles han sido los resultados de la investigación en términos de producción de nuevo conocimiento desde la didáctica?
- La experiencia de seguimiento de grupos de 1º a 6º grado nos permitió modificar el marco teórico. Porque, cuando comenzamos, creíamos que éramos constructivistas, pero la verdad es que no lo éramos. Tomando como referencia a Dienes, considerábamos que los niños de la escuela primaria estaban en la etapa de las operaciones concretas, por lo cual había que “materializar” el conocimiento matemático. Entonces, el esfuerzo inicial estuvo centrado en esta “concretización” de la matemática, desde las dos perspectivas que manejaba el autor, desde la variabilidad perceptual y la variabilidad matemática.

¿Qué fue lo que sucedió en la realidad?
- Al término de segundo grado, fue muy evidente que -si bien los niños lo pasaban maravillosamente en la clase, iban evolucionando y lo que habían aprendido, lo habían aprendido bien- faltaba algo importante: no sabían para qué aprendían. La funcionalidad del conocimiento estaba ausente. Entonces, intentando abordar el tema del sentido, comenzamos a revisar los planteamientos didácticos de Guy Brousseau y a modificar las estrategias de enseñanza desde una perspectiva de funcionalización del conocimiento. Nosotros pasamos de la concretización del conocimiento a la funcionalización del conocimiento. Que el niño supiera desde el principio qué era lo que estaba buscando y para qué servía eso que estaba buscando.

¿Cuáles fueron los cambios más importantes?
- Actualmente, consideramos que lo central es el trabajo sobre el significado, lo cual generó un fuerte movimiento del marco teórico en el que nos basábamos.
Hacia el cuarto año de nuestra experiencia, comenzamos a trabajar sistemáticamente con secuencias de situaciones problemáticas.
Como siempre hemos experimentado en el aula y con el maestro como intermediario (no en un laboratorio), registramos cosas que sucedían en el salón de clases de las que no podíamos hacer caso omiso. Por ejemplo, no obstante el convenio hecho con la escuela en el sentido de que todos los días iba a haber una hora de clases de cuarenta y cinco minutos en cada grupo de matemática, al revisar cuántas horas de clases se habían dado en el año, resultó que no llegamos a tener más de ciento veinte en cada grupo, mucho menos de lo esperable.
Esto ocurre por distintos motivos que tienen que ver con la rutina escolar y son cuestiones que hay que tomar en cuenta cuando se realizan propuestas para el aula. La realidad es que el tiempo dedicado a la enseñanza y al aprendizaje es mucho menor del que se dice.

¿Qué modificaciones propiciaron a partir de sus producciones?
- Una de las cuestiones que propusimos fue quitar multiplicación y división de fracciones de la educación primaria. Nuestra idea fue que pasara a la secundaria (7º, 8º y 9º). Esto coincidió en la propuesta nacional y, actualmente, multiplicación y división de fracciones está en secundaria a escala oficial.
En la primaria, se les da mayor espacio a los distintos significados de la fracción, porque, en el currículo anterior, el único significado que se trabajaba el fraccionamiento de la unidad.
Desde nuestras investigaciones en didáctica observamos que los niños no accedían al conocimiento claro de la multiplicación y división de fracciones y que no era un problema didáctico, sino de aprendizaje. Otro tipo de estudios empezó a mostrar que los niños, para acceder a este tipo de conocimientos, requieren un pensamiento de operaciones formales, lo cual es propio de la secundaria. Entre esas dos vías, finalmente, quienes diseñaron planes y programas coincidieron en proponer la multiplicación y división de fracciones en la secundaria.
Una preocupación de quienes elaboraron los últimos planes era qué proponer a cambio en ese gran espacio curricular desde cuarto hasta sexto grado. Entonces, se dio la alternativa, por resultados de la investigación en didáctica, de trabajar sobre los significados de las fracciones.

¿Qué es lo que propone particularmente este nuevo enfoque?
- Entre la escuela tradicional y esta nueva corriente, está en juego un problema de concepción de aprendizaje. Si se entiende que el niño aprende a través de recibir información, la estrategia de enseñanza deberá estar centrada en cómo se le transfiere el conocimiento, cómo se le informa acerca de este conocimiento y, en el caso particular de la matemática, lo único que se deja comunicar son los símbolos y las reglas. Pero está alterado el sentido, la temática de este lenguaje matemático queda ausente. Y el problema se centra en la enseñanza, porque esta enseñanza tradicional está diseñada y articulada desde una concepción de aprendizaje equivocada. En cambio, la teoría psicogenética dice que el sujeto aprende interactuando con el objeto de conocimiento. Entonces, de lo que se trata es de diseñar este objeto para que el niño pueda interactuar con él. Y puede interactuar desde tres niveles: desde el nivel intelectual, el material y desde el nivel social.

¿Podría ampliar sus consideraciones respecto del problema del sentido en matemática?
- El problema del sentido se gesta desde la primaria. Porque, frente a un problema aditivo, la escuela no brinda oportunidades a los niños de mostrar qué harían para resolverlo. El maestro muestra en el pizarrón cómo él resolvería el problema a través de la formalización; de esta manera, él decide qué hacer con los datos y qué operación utilizar. Los niños, en el mejor de los casos, aprenden a mecanizar. Nuestra idea es que cuando se le proponen al niño problemas de suma o de resta, él recurra a su conocimiento de conteo para resolverlos. En paralelo, habrá que trabajar el sistema de numeración para que llegue un momento en que cuando el niño ve, por ejemplo, un 13 y un 29, se dé cuenta de que hay un diez en el 13 y dos dieces en el 29, o sea que tiene, por un lado, tres 10 y, además, con el 9 y el 3 llega a un 12, y con el 12, tiene otro 10… Entonces, finalmente, el resultado es cuarenta y dos y, si bien de esta manera, el niño está contando, no lo está haciendo de uno en uno…
Cuando empieza a resolver de esa manera, está muy próximo a que se le enseñe la suma como algoritmo.
El planteamiento actual va en la siguiente línea: los niños comienzan a resolver, con sus propios recursos, problemas aditivos, y después multiplicativos. Luego, los vamos orientando a que se vayan aproximando a la estrategia convencional. En el camino ¿qué sucede? Que el niño adquiere una relación totalmente distinta con conocimiento matemático, porque interactúa con él, lo cual no sucedía en el planteamiento anterior. Cuando se le propone un problema a un niño y él contesta que no lo sabe resolver porque su maestra no se lo ha enseñado, eso está diciendo mucho. Significa que el mensaje que le estaba dando la escuela al niño era que es incapaz de pensar por sí mismo, si no hay alguien que le diga cómo, lo cual es gravísimo y trasciende al conocimiento matemático. Es una actitud frente a los problemas de la vida. ¿Cómo es que yo necesito, frente a un problema, que alguien me lo haya enseñado? En este planteamiento actual, el niño, frente a un problema, hecha mano a sus recursos. Y luego discute con otros y, efectivamente, aparece el recurso convencional.
Las concepciones
de los maestros

¿Cómo se ubican, en general, los maestros frente a estos enfoques?
- Creo que muchos maestros tienen que reconceptualizar sus ideas acerca del aprendizaje, consecuentemente también acerca de la enseñanza. Por otro lado, también tienen que resolver problemas de orden disciplinar. Muchas veces sus ideas sobre el conocimiento matemático están equivocadas y otras, aunque no estén equivocadas, son una parte muy mínima del concepto que está en juego.
Por ejemplo, han llegado a pensar, por su práctica, por la manera en que les han llegado las propuestas, por su formación, que un cuadrado apoyado en su vértice es un rombo, cuando lo que diferencia un cuadrado de un rombo es si tiene o no ángulos rectos y lo que se conserva tanto en uno como en el otro son los cuatro lados iguales.
También piensan que una figura es un triángulo si está orientado con un lado en paralelo a alguna referencia. Muchos creen que un triángulo solamente tiene una base y una altura. No saben que cualquier lado puede funcionar como base.
Son algunas de sus concepciones erróneas.

¿Cuáles son las estrategias de trabajo con los maestros orientadas a la reconceptualización de sus conocimientos matemáticos?
- Nosotros proponemos trabajar a partir de una secuencia con situaciones problemáticas, como con los niños. La diferencia entre ambas formas está en el conflicto inicial. En el caso de los maestros comenzamos proponiendo problemas para que pongan en juego conceptos equivocados y se den cuenta de que no funcionan. Cuando se logra esto, brindamos otra secuencia para que esa idea comience a aclararse. Porque al maestro no se le puede decir que no sabe matemática. O que no sabe enseñar o que no sabe qué es el aprendizaje. Es interesante notar que si alguien acude a un curso de física cuántica, es porque asume que no sabe física cuántica y que va a aprender. Para un maestro, no. Si estamos hablando, además, de contenidos de matemática de la primaria -suma, resta, sistemas de numeración, medición-, por empezar, se supone que lo sabe porque es un sujeto escolarizado. Para seguir, es un maestro que enseña. Es un terreno muy álgido. Por eso, nosotros le proponemos una situación para que se dé cuenta de que esa idea que tiene no funciona. ¿Y ahora qué hago? Entonces, proponemos otro problemita para que pueda continuar. La secuencia debe ir modificando esa idea hacia el conocimiento constituido.

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