Entre aritmética y álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario

Entre aritmética y álgebra: un camino que atraviesa los niveles primario y secundario

Investigaciones y aportes


$ 259,00

Tradicionalmente se cree que en la escuela primaria se enseña sólo aritmética y que el trabajo algebraico comienza a partir de la aparición de las primeras ecuaciones con una incógnita. Sin embargo, en algunos problemas que se presentan a los alumnos en los primeros grados, están implícitas las nociones de variable y generalización; nociones en las que se apoyan las propuestas curriculares actuales para ingresar al álgebra. En este sentido, se entiende que existe un camino entre aritmética y álgebra desde el inicio de la escolaridad.
En esta obra se tienden puentes entre investigadores y docentes de todos los niveles, proponiendo como un posible eslabón entre aritmética y álgebra a la ecuación diofántica lineal, objeto matemático cuyo conjunto solución está formado por infinitos pares ordenados de números enteros.
Además se ofrecen elementos para que los docentes de todos los niveles puedan implementar en sus aulas problemas similares para transitar el camino entre aritmética y álgebra.

Prólogo por Mabel Panizza y Jean-Philippe Drouhard
Introducción
Parte I.
Una mirada a las ecuaciones diofánticas lineales desde la epistemología
por Analía Petich
Capítulo 1. La Epistemografía
Aspectos centrales de la Epistemografía
Capítulo 2. Avance histórico de los tipos de conocimientos
Civilizaciones o personas anteriores a Diofanto
Diofanto
Civilizaciones o personas posteriores a Diofanto
Capítulo 3. Líneas de investigación que tienen en cuenta la historia para realizar consideraciones didácticas
Obstáculos epistemológicos
Filogénesis y ontogénesis
Capítulo 4. Mirada epistemográfica del objeto EDL
Subparadigma Numérico I
Subparadigma Numérico II
Parte II.
Una mirada a las ecuaciones diofánticas lineales desde la teoría de los campos conceptuales
por Liliana Lalanne
Capítulo 5. En el nivel del campo conceptual
Problemas variando aspectos de la estructura multiplicativa
Problemas variando aspectos de la estructura aditiva
Importancia de las variaciones numéricas
Algunas observaciones intramatemáticas
Capítulo 6. En el nivel del orden psicológico que plantea su adquisición
Selección de los problemas para el estudio empírico
Análisis de las producciones de los alumnos al resolver problemas con variaciones estructurales
Hacia una descripción de las producciones de los alumnosen términos de esquemas
Procedimientos desplegados por alumnos
Análisis de las producciones de los alumnos al resolver problemas con variaciones numéricas
Parte III.
Una mirada a las ecuaciones diofánticas lineales desde las producciones de los alumnos
por Ethel Barrio
Capítulo 7. Diseño del estudio empírico
Problemas administrados
Aspectos a considerar en el análisis
Capítulo 8. Lineamientos teóricos
Teoría de los Registros de Representación Semiótica
Modelo Epistemográfico
Capítulo 9. Análisis de tareas y producciones de los alumnos
Primer grado
Tercer grado
Séptimos grados
Tercer año
Cuarto año

Liliana Lalanne

Profesora de matemática y especialista en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales con Orientación en Matemática (UNCo). Ha sido docente en los niveles medio, terciario y universitario. Fue profesora en el Profesorado de Enseñanza Básica del Instituto de Formación Docente Nº 12 de la ciudad de Neuquén. Dicta cursos de capacitación, perfeccionamiento y actualización para docentes, participa como asesora en diferentes instituciones educativas, ha participado en diferentes encuentros y es coautora de artículos relacionados con la enseñanza de la matemática.

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Analía Petich

Profesora de matemática y especialista en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales con Orientación en Matemática (UNCo). Ha sido profesora en el nivel medio. Actualmente se desempeña como docente en los Profesorados en Educación Inicial y para la Enseñanza Básica del Instituto Superior de Formación Docente Nº 6 y en el Profesorado de Enseñanza Básica del Instituto de Formación Docente Nº 12, ambos en la ciudad de Neuquén. Dicta cursos de capacitación, perfeccionamiento y actualización para docentes, ha participado en diferentes encuentros y es coautora de artículos relacionados con la enseñanza de la matemática.

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Tradicionalmente se cree que en la escuela primaria se enseña sólo aritmética y, a partir de la aparición de las primeras ecuaciones con una incógnita, comienza el trabajo algebraico. A través de nuestras investigaciones observamos que en algunos problemas que se presentan a los alumnos en los primeros grados están implícitas las nociones de variable y generalización; nociones en las que se apoyan las propuestas curriculares actuales para entrar al álgebra. Es en este sentido que entendemos existe un camino entre aritmética y álgebra desde el inicio de la escolaridad.
En la presente obra damos a conocer los resultados de nuestros estudios con la intención de tender puentes entre investigadores y docentes de todos los niveles, proponiendo como un posible eslabón entre aritmética y álgebra a la ecuación diofántica lineal, objeto matemático cuyo conjunto solución está formado por infinitos pares ordenados de números enteros. Quizás llame la atención hablar de este tipo de ecuaciones para niños que comienzan la escuela primaria; no estamos pensando en niños planteando ecuaciones, pero hemos comprobado que pueden resolver problemas modelizables mediante estas ecuaciones.
A partir de estos problemas, presentamos una obra rica en experiencias de aula y observaciones. Desde la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud y la Teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval, analizamos los procedimientos que despliegan los alumnos al resolver estos problemas: qué registros usan, cómo evolucionan sus procedimientos a lo largo de la escolaridad, qué dificultades tienen, qué noción de variable construyen. Desde la Epistemografía de Drouhard estudiamos qué conocimientos de naturaleza diferente se ponen en juego y cuál ha sido su evolución histórica al realizar la actividad matemática con la ecuación diofántica lineal.
Creemos oportuno aclarar que las tres partes que conforman este libro están basadas en las tesinas que cada una de nosotras elaboró como trabajo final de la carrera de postgrado Especialización en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales con mención en Matemática de la Universidad Nacional del Comahue. Las tres tesinas fueron dirigidas por la licenciada Mabel Panizza y co-dirigidas por el doctor Jean-Philippe Drouhard y plantean el análisis didáctico y epistemológico de la ecuación diofántica lineal desde tres miradas distintas y complementarias a la vez.
Es nuestro deseo que las reflexiones, conclusiones y preguntas que surgen de esta obra den inicio a nuevas investigaciones, a la vez que brinden elementos para que los docentes de todos los niveles puedan implementar en sus aulas los problemas que presentamos, siendo conscientes de la importancia que este trabajo tiene para transitar el camino entre aritmética y álgebra.
Este libro constituye una gran oportunidad para la comunidad educativa al difundir trabajos de investigación que la mayoría de las veces quedan restringidos al ámbito de la comunidad de investigadores. Es por eso que, además de ser un honor para nosotros escribir este prólogo, es sobre todo una gran alegría, porque entendemos que se trata no sólo de un punto de llegada y consolidación de los trabajos, sino también de un punto de partida y apertura.
A fin de dar cuenta del aporte que constituye este libro, nos parece importante tener en cuenta no sólo aspectos de aprendizaje y enseñanza, sino también de los saberes en juego en aritmética y en álgebra.
La aritmética y el álgebra escolar son dos dominios que se reconocen como saberes a adquirir en la escuela primaria y en la secundaria respectivamente. Cada uno de esos dominios se puede analizar según tres dimensiones: la de los objetos y su estructura; la de las escrituras simbólicas; y la de los problemas y procedimientos de resolución. Una parte de la complejidad de su análisis reside en que esas dimensiones no pueden ser consideradas en forma independiente sin caer en concepciones ingenuas o estereotipadas de cada uno de dichos dominios.
Una manera unidimensional e ingenua relativa a las escrituras simbólicas consiste en analizar las escrituras según la presencia o ausencia de letras. Según esta perspectiva, el álgebra se caracteriza por el uso de letras y la aritmética, por su ausencia. Más precisamente, el álgebra se identifica por la aparición de la temible letra “x”, símbolo de lo desconocido,1 del misterio,2 y a menudo –para los chicos– de lo incomprensible. Ahora bien, en aritmética también se usan letras, para designar, por ejemplo, magnitudes en una fórmula, o bien para nombrar unidades en un sistema de medida.
Por otra parte, siempre dentro de las escrituras simbólicas, el uso del (mismo) signo para la relación de igualdad, utilizado en aritmética y en álgebra, no da cuenta de la diferencia sustancial de su significado en cada uno de estos dominios. Efectivamente, en aritmética el signo “=” es usado para designar el resultado de una operación (por ejemplo en ¼ + ¼ = ½), en tanto el mismo signo es usado en álgebra para designar la equivalencia entre dos expresiones. Consideraciones del mismo orden correspondería hacer en relación con los significados de las relaciones de desigualdad en ambos dominios.
Estos criterios semióticos superficiales, basados en la presencia o no de letras, o la apariencia de los símbolos de relación, no sirven para caracterizar ambos dominios. Aun restringiéndonos a la dimensión de las escrituras simbólicas, el análisis debe contemplar identificaciones complejas como son las funciones y significados de los símbolos.
Más aún, dichos criterios superficiales afectan de manera sustantiva la identificación de los problemas y procedimientos de resolución de cada dominio. Efectivamente, existen problemas para los que la aritmética resulta suficiente y problemas que requieren del álgebra, en el sentido de involucrar complejas relaciones entre variables. La diferencia reside en que, en este último caso, el planteo de una ecuación como modelo de un problema y su resolución requiere la identificación en el enunciado de diferentes objetos y sus relaciones, el uso coherente de letras para designarlos, el establecimiento de las relaciones en términos algebraicos, y el conocimiento de las reglas sintácticas y de transformación propias del álgebra. Para que las ecuaciones constituyan un portal oficial de entrada al álgebra, los problemas elegidos para dar sentido a las ecuaciones deben responder a estos requerimientos. Sin embargo, a menudo los problemas que se presentan a los alumnos pueden resolverse por métodos aritméticos, las ecuaciones responden solamente al compromiso del uso de letras mediante una traducción secuencial del texto del problema y es posible arribar a la meta a partir de los datos. En estos casos, la escritura de la ecuación no puede considerarse un progreso significativo hacia las escrituras simbólicas del álgebra, y los problemas correspondientes son problemas para los que el álgebra no resulta necesaria.
Con relación a los objetos involucrados, la aritmética trata esencialmente con objetos que pertenecen al dominio de los números naturales. Efectivamente, los cálculos, aun sobre números enteros o racionales, se efectúan gracias a algoritmos sobre números naturales. El álgebra, en cambio, trata con números reales –y, en el caso del álgebra avanzada, con objetos más generales aún–. Las consecuencias didácticas de este salto han sido poco estudiadas todavía, y mucho menos son los estudios sistemáticos de cómo ayudar a los alumnos a pasar (en álgebra) del reino de los naturales al imperio de los reales. Por supuesto, son muchísimos los estudios sobre las dificultades de los alumnos con los números reales, pero pertenecen, en general, al dominio de la didáctica del análisis y no de la didáctica del álgebra.
Concebir una transición entre la aritmética y el álgebra escolar supone abordar conjuntamente la complejidad de estas tres dimensiones: las funciones y significados de los símbolos; la caracterización de los problemas de manera que el álgebra resulte necesaria; y un salto bastante brutal entre una matemática de los números naturales y una matemática de los números reales.
El mérito de este libro es doble: no sólo estudia lo que se puede considerar el eslabón faltante entre aritmética y álgebra (las ecuaciones diofánticas lineales –aritméticas por ser diofánticas, y algebraicas por ser ecuaciones–), sino que además lo estudia de manera sistemática, a partir de una triple mirada, lo que constituye una aproximación totalmente original y sumamente fértil.
Analía Petich realiza en primer lugar un estudio histórico del álgebra, centrándose en los saberes ligados de alguna manera a las ecuaciones diofánticas lineales, identificando complejas relaciones en el avance de los conceptos, problemas y métodos de resolución y lenguaje utilizados, y las reglas del juego matemático y su relación con las concepciones de la matemática. Identifica obstáculos históricos y plantea la posibilidad de que algunos de ellos constituyan obstáculos epistemológicos en el sentido de Brousseau. En segundo lugar, discute el valor y el sentido que diferentes teorías otorgan al estudio de la historia como recurso para la enseñanza y para comprender procesos de aprendizaje. Finalmente, mediante un estudio sistemático de la actividad matemática ligada a las ecuaciones diofánticas lineales, da cuenta de la complejidad de relaciones entre los conocimientos conceptuales, semiolingüísticos e instrumentales y las reglas que legitiman la actividad matemática, especialmente las formas de validación. Tomando esas dimensiones, identifica dos niveles, y explicita las condiciones para el diseño de problemas de diferente grado de complejidad dentro de cada nivel. De esta manera, ofrece un marco consistente para analizar la aritmética y el álgebra, tanto desde el punto de vista de la caracterización de ambos dominios como de las propuestas de enseñanza y la comprensión de los procedimientos y dificultades de los alumnos.
Liliana Lalanne analiza este objeto de saber –la ecuación diofántica lineal– desde la perspectiva de los Campos Conceptuales de Vergnaud. Teniendo en cuenta que las ecuaciones diofánticas lineales involucran simultáneamente la complejidad de las estructuras aditivas y multiplicativas, el conjunto de situaciones que propone incorpora en su diseño y análisis ambas fuentes de complejidad. Entre otros aspectos, considera la naturaleza de las variables en juego en cada problema, la naturaleza de sus relaciones, el tipo de número en calidad de coeficientes y sus relaciones y la cantidad de soluciones (finita o infinita, según el contexto del problema). Mediante un estudio empírico con alumnos de séptimo grado, establece una jerarquía en orden de dificultad cognoscitiva de problemas que se pueden modelizar con una ecuación diofántica lineal, diseñados sobre la base de una selección de las variaciones estructurales y numéricas establecidas. Presenta un análisis de los procedimientos y respuestas de los alumnos, estableciendo interpretaciones en términos de esquemas y un conjunto de variables cognitivas, algunas de las cuales constituyen variables didácticas.
Ethel Barrio realiza un estudio empírico con alumnos de diferentes niveles de escolaridad, desde primer grado de la escuela primaria hasta cuarto año de la escuela secundaria. Los problemas administrados para el estudio son formalmente modelizables por una ecuación diofántica lineal con dos o más variables y varias soluciones, y han sido diseñados teniendo en cuenta aspectos evolutivos y de conocimientos de los alumnos. El estudio muestra que los alumnos disponen de medios para resolver este tipo de problemas, y describe los modelos, representaciones y procedimientos espontáneos que los alumnos utilizan en cada nivel. Para comprender el alcance de esta investigación, habrán de tenerse en cuenta dos aspectos interrelacionados. Por un lado, es importante notar que dichas producciones son elocuentes de los conocimientos conceptuales y operatorios sobre números y variables puestos en acto por los alumnos, y de sus conocimientos de las reglas del juego matemático, especialmente por los medios de validación y control que son capaces de poner en juego. Por otro lado, a partir de estas producciones es posible pensar que, a través de una propuesta didáctica basada en este tipo de problemas a lo largo de la escolaridad, el planteo de la ecuación algebraica como modelo por parte de los alumnos podría resultar de la evolución de sus representaciones espontáneas, con el grado de consistencia que supone la evolución de los conocimientos y medios de control asociados.
A partir de esta obra parece posible la gestión de una ruptura para el pasaje de la aritmética al álgebra desde una nueva perspectiva de articulación, que no compromete solamente a los docentes responsables de introducir a los alumnos en el dominio del álgebra. Desde esta perspectiva, el compromiso compete al tratamiento de ambos dominios de conocimiento –la aritmética y el álgebra– en los diferentes niveles de enseñanza, y requiere de los docentes, a lo largo de la escolaridad, un compromiso con lo que es determinante para la escolaridad futura de los alumnos.
El trabajo de las autoras, desde diferentes perspectivas, muestra que a través de este objeto de saber –las ecuaciones diofánticas lineales– es posible un tratamiento de la aritmética que contemple los futuros aprendizajes del álgebra.
En primer lugar, el tratamiento con dos o más variables y varias soluciones desde el comienzo de la escolaridad no sólo parece posible, sino que muestra su fecundidad para el despliegue de procedimientos y representaciones espontáneas de los alumnos. De esta manera, el trabajo da elementos para concebir un tratamiento de la aritmética que favorezca la evolución del sentido de los conocimientos algebraicos, a diferencia del tratamiento tradicional caracterizado por la unicidad de variables y soluciones.
En segundo lugar, dos estudios sistemáticos permiten abordar la complejidad del diseño de problemas de manera de favorecer la evolución de los modelos, representaciones y procedimientos de los alumnos hacia la escritura formal de la ecuación diofántica lineal y los procedimientos propios de la resolución algebraica.
Por un lado, el análisis estructural del objeto ecuación diofántica lineal desde el punto de vista de su complejidad intrínseca como estructura aditiva y multiplicativa y el análisis de su complejidad cognoscitiva, lo que constituye una aproximación a la constitución de este objeto como campo conceptual en sí mismo. Por otro lado, el estudio de este objeto que da cuenta de las relaciones entre los conocimientos conceptuales, semiolingüísticos e instrumentales y las reglas que legitiman la actividad matemática, especialmente las formas de validación, lo que puede asociarse a diferentes momentos de la escolaridad.
Una comprensión profunda de estos trabajos dejará en claro que de ninguna manera se trata de adelantar los conocimientos a adquirir en la escuela primaria para facilitar la entrada al álgebra. El estudio en su totalidad da elementos para pensar en una enseñanza que respete la identidad de cada momento, tanto desde el punto de vista de la especificidad de cada dominio de conocimiento como de los conocimientos y nivel evolutivo de los alumnos. Hace pensar, también, en términos de continuidades y rupturas parciales, y en una transición que no sea concebida solamente en términos de la Gran Ruptura entre la aritmética y el álgebra. Creemos que es ése el sentido que las autoras han dado a su obra, al concebirlo como un camino.
Un abordaje de la enseñanza que contemple de manera sistemática todos estos aspectos constituye sin duda un gran desafío para los docentes de los diferentes niveles de enseñanza y plantea nuevas preguntas de investigación, algunas de las cuales son identificadas en el libro por las mismas autoras. Esperamos con entusiasmo que ese desafío sea asumido por la comunidad educativa, y que estimule el desarrollo de nuevas investigaciones.
Mabel Panizza y Jean-Philippe Drouhard

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