Sucesiones: naturaleza, armonía y matemática en espiral

Por Adriana Rabino. Se presenta un camino para introducir el concepto de sucesiones de una manera significativa y atractiva: el reconocimiento de sucesiones aritméticas, geométricas u otras, utilizando como recursos la búsqueda de regularidades y el uso de diagramas (en este caso, espirales) como generador del proceso de matematización.

Sucesiones
A través de la matemática realista se proponen actividades sobre las espirales de Arquímedes, logarítmica, de Baravelle, pitagórica, de Durero y de Fibonacci. Mirá el libro: Matemática realista en la educación secundaria

Se trabajan así patrones de recurrencia (son aquellos que se repiten con cierta regularidad) que surgen a partir de las siguientes acciones sobre diagramas: observación, experimentación, comparación (con otros diagramas análogos), construcción y/o generalización y que dan lugar a las sucesiones; todo esto ya sea inspirados en la naturaleza, en obras de arte o en la matemática misma.

Marco teórico
La búsqueda de regularidades numéricas permite avanzar en una formalización progresiva desde niveles informales hasta conceptualizaciones del análisis matemático, como por ejemplo, el límite de una sucesión. Se considera un contenido procedimental general y de carácter transversal respecto a todos los contenidos de la matemática como de otras disciplinas. De hecho, la ciencia se construye sobre la investigación de regularidades y sus posibilidades de investigación.

La matemática encierra en sí misma regularidades. Ellas se construyen con base en la generalización de patrones. Un ejemplo lo son las sucesiones que explican fenómenos tanto naturales como artificiales.

El descubrimiento de las leyes que rigen los patrones cumple un rol fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático, vinculado estrechamente al proceso de generalización que forma parte del razonamiento inductivo.

Por otro lado, la generalización es un paso esencial en el proceso de matematización progresiva para llegar al nivel de formalización en el cual se busca conducir al alumno a procesos de justificación, conjetura y demostración (niveles de la Educación Matemática Realista).

Un patrón es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, de comportamiento, etc.) que se construye siguiendo una regla (algoritmo). Pueden ser de repetición (en donde un núcleo se repite en forma periódica) o de recurrencia (el núcleo cambia con regularidad). Dentro de los patrones de recurrencia se encuentran las sucesiones, algunas de ellas geométricas o aritméticas.

Las actividades con patrones estimulan la generación de hipótesis, su comunicación y comprobación y la refutación o confirmación de las mismas, y acerca a los alumnos al pensamiento diagramático o razonamiento diagramático.

Los diagramas (junto con la búsqueda de regularidades) juegan un rol muy importante en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Ellos constituyen un recurso esencial del razonamiento matemático.

Un diagrama es una representación externa de relaciones, construido de acuerdo a ciertas reglas y convenciones.

Existen dos concepciones distintas del concepto de diagrama: una amplia que toma como tal a cualquier tipo de inscripción que hace uso del posicionamiento espacial en 2 o 3 dimensiones; otra concepción más restringida requiere poder realizar con dichas representaciones determinadas transformaciones, construcciones y combinaciones según ciertas reglas y convenciones.

Las partes constituyentes de un diagrama pueden ser cualquier tipo de inscripción como letras, numerales, signos especiales o figuras geométricas (que es lo que se usará en este trabajo). Es importante fomentar el pensamiento geométrico como un complemento del pensamiento algebraico en la resolución de problemas.

Rivera (2011) sostiene que "con la ayuda del razonamiento diagramático, el foco cambia hacia la detección, construcción y establecimiento de regularidades y relaciones invariantes que eventualmente toman la forma de conceptos y teoremas que son en sí mismos diagramas en algún formato".

El razonamiento matemático es necesariamente diagramático. Razonar diagramáticamente implica:

• Construir un diagrama que cumpla ciertas condiciones.
• Experimentar con (o manipular) el diagrama.
• Observar (y tomar nota de) los resultados de los experimentos.
• Probar con otros diagramas que cumplan las mismas condiciones que el inicial.
• Si se obtienen los mismos resultados, expresarlos en términos generales (generalización).

La función primordial de los diagramas es facilitar procesos de pensamiento.

Entonces en este presentación se trabajarán diagramas utilizando distintas espirales (muchas de ellas conocidas). Al manipular sobre ellas (dibujando, comparando, conjeturando, generalizando, justificando, etc.) se espera que se construya el concepto de sucesión o serie numéricas, sus definiciones y características, y se llegue a intuir lo que sucede en el límite de una sucesión.

Se sugiere acompañar el trabajo con el uso de algún software (Geogebra o Cabrí), para optimizar los tiempos en pro del objetivo del trabajo, aprovechando el dinamismo y la posibilidad de observar muchos casos en forma simultánea, lo que facilita el camino a la conjetura y la generalización.

(Continúa...)

Fuente: Artículo completo en la Revista Novedades Educativas nº315. Adquirir ejemplar.
Autora: Adriana Rabino (Ver libros de la autora).
Otras temáticas: Ciencias Naturales - Pedagogía - Educación Física - Familia


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